A través del análisis de objetos cotidianos como los mosaicos, Laura Hidalgo Solís, miembro del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, introduce amablemente al lector al estudio de diversos conceptos matemáticos como la “transformación rígida” y la “simetría”, en su libro Mosaicos, publicado por el Instituto de Matemáticas de la unam, dentro de la serie Temas de Matemáticas para Bachillerato.

En el primer capítulo, la autora nos presenta los conceptos básicos a estudiar y para ello plantea una serie de ejemplos que inducen a la cuestión: ¿son los cuadrados, hexágonos, triángulos y rombos las únicas figuras con las cuales es posible cubrir el piso? Y si hay más figuras, ¿hay una infinidad de ellas o sólo un número finito?

Ya que estas preguntas pueden ser complicadas de responder, Laura Hidalgo acota: ¿es posible cubrir el piso utilizando cualquier tipo de polígono regular convexo, en forma tal que en cada vértice haya el mismo tipo y cantidad de polígonos? Esta pregunta permite sistematizar la búsqueda, y tras un breve análisis se puede ver que es posible cubrir el piso con polígonos de n lados sin que haya huecos ni traslapes, si y solamente si n = 3, 4, 6.

Los matemáticos denominan a esta actividad: teselar el plano, o bien, embaldosar o tapizar el plano. Así, una teselación, mosaico o embaldosado del plano es una descomposición del mismo en regiones, denominadas teselas, que no se traslapan ni dejan huecos.

Una vez resuelto este problema, se pregunta: ¿es posible generar un mosaico por polígonos regulares, dispuestos en forma tal que en todos los vértices concurran el mismo tipo, y el mismo número de polígonos regulares, sin que haya huecos ni traslapes? Si esto es posible, ¿cuántos tipos distintos de estos mosaicos hay?

Luego, se pregunta: ¿es posible generar algún mosaico utilizando sólo polígonos regulares pero permitiendo que haya más de un tipo de un arreglo por polígonos en cada uno de los vértices? Más adelante se estudia otro tipo de polígonos, los que tienen forma de estrella, los cuales se usan mucho con fines decorativos, por ejemplo, en el arte morisco.

Posteriormente, se retorna a la pregunta original: ¿es posible teselar el plano utilizando un mismo tipo de polígono no regular? Por ejemplo, ¿es posible teselar el plano utilizando cualquier triángulo, y cuadrilátero? Ya se sabe que no es posible teselar el plano utilizando pentágonos regulares, así que ahora se investiga si es posible teselar el plano utilizando algún tipo de pentágono. En el libro se muestran los 14 tipos distintos de pentágonos conocidos con los que se puede teselar el plano, aunque aún no se sabe cuántos tipos distintos hay.

También se observa que muchas propiedades de los mosaicos dependen del principio de simetría. En el capítulo 3 se explica el significado de este término y en el capítulo 4 se presentan diversos ejemplos de mosaicos –la mayoría de los cuales se encuentran en la Alhambra, Granada– que ilustran los 17 tipos distintos de grupos de simetría que admiten los mosaicos.

Y regresándonos un poco, en el capítulo 2 se estudia un caso particular de mosaicos, los poliminós. Un poliminó de orden n es un polígono formado por n cuadrados unitarios que se encuentran conectados a lo largo de sus lados. Con un cuadrado tenemos sólo un monominó, con dos, un dominó, y así sucesivamente. La cuestión es resolver las siguientes preguntas: ¿es posible cubrir un rectángulo n x m usando sólo un tipo de poliminós de orden n? ¿Es posible cubrir el plano utilizando cualquier poliminó de orden n?

En el capítulo 3 se estudia el concepto de simetría, así como algunas de sus propiedades, las cuales son básicas para estudiar las propiedades de los mosaicos.

En el cuarto y último capítulo se analizan los mosaicos a partir de las propiedades de simetría, poniendo especial énfasis en los conceptos de mosaico periódico y aperiódico. Se presentan ejemplos de los 17 grupos de simetrías del plano euclidiano. En este capítulo también se trata el concepto de teselación aperiódica, y su diferencia con la no-periódica, y se presentan algunos ejemplos de teselaciones aperiódicas creados por Roger Penrose. Finalmente, se analiza que el problema de generar teselaciones no se limita al plano euclidiano, por lo que este problema se extiende a otros tipos de geometrías.

Esta obra cuenta con más de 150 ilustraciones y una gran cantidad de ejercicios, los cuales pueden resolverse con un poco de imaginación, ingenio y paciencia. Algunos de los ejemplos mostrados son creaciones del maestro M. C. Escher. Los lectores, además de admirar su obra, podrán saber cómo se generaron sus famosas figuras y el grupo de simetrías asociado en ellas.

La serie Temas de Matemáticas para Bachillerato tiene el propósito de ofrecer en cada libro un tratamiento autocontenido del tema presentado, mostrando en los ejemplos y ejercicios su relación con otros temas. Aunque está planeada para apoyar al nivel medio superior, sus contenidos pueden ser de interés para otros niveles de educación y para el público en general.

Bibliografía

alonso Reyes, María del Pilar, José Antonio Flores Díaz, Estadística descriptiva para bachillerato, (2004) 116 p. cárdenas Rubio, Silvestre, Dos o tres trazos, (2003) 109 p. cruz Terán, Mario, Relaciones de equivalencia, (2006) 115 p. hidalgo Solís, Laura, Mosaicos, (2007), 155 p. ortiz Bobadilla, Laura y Ernesto Rosales González, La historia de un empujón: un vistazo a las ecuaciones diferenciales ordinarias y a los sistemas dinámicos, (2002) 178 p. ramírez Galarza, Ana Irene, Sistemas de ecuaciones y de desigualdades, (2002) 116 p.  rincón Mejía, Hugo Alberto, Cuando cuentes cuántos…, 2ª edición (2006) 124 p. *Reseña del libro Mosaicos, de Laura Hidalgo Solís, Instituto de Matemáticas, unam, serie Temas de Matemáticas para Bachillerato, vol. 7, México, 2007, 155 pp.