En esta segunda entrega de Topología explicada para maestros, continuamos analizando, desde el punto de vista matemático, el significado y los alcances de la topología y sus elementos. En este artículo daremos la definición abstracta de espacio topológico y el concepto de separación.
Jean Piaget (1896-1980). www.biografiasyvidas.com/biografia

En su obra La representación del espacio en el niño,1 J. Piaget y B. Inhelder defienden con mucho entusiasmo y sabiduría que:

[...] el análisis geométrico abstracto tiende a mostrar que los conceptos fundamentales del espacio no son de manera alguna euclidianos, sino ‘topológicos’. Es decir, basados enteramente en correspondencias cualitativas o ‘bicontinuas’ que involucran conceptos como proximidad y separación, orden y encerramiento. Y, ciertamente, encontraremos que el espacio del niño, que es esencialmente de carácter activo y operacional, invariablemente comienza con ese tipo simple de relaciones topológicas mucho antes que se haga proyectivo o euclidiano.

Piaget y su Escuela diferencian estos aspectos topológicos de los proyectivos (que suponen, entre otras cosas, la capacidad del niño de percibir un mismo objeto al observarlo desde distintos ángulos) y de los euclidianos (que se refieren a tamaños, distancias y direcciones, y conducen a la medición de longitudes, ángulos, áreas, y a las figuras geométricas sencillas como triángulo, esfera, etcétera).

La finalidad de estas notas es analizar desde el punto de vista matemático, para un público no especializado, el significado y los alcances de la topología y sus elementos; aclarar el uso de estos conceptos en el libro de Piaget e Inhelder y avanzar un poco en su significado matemático.

En la primera nota nos hemos referido al uso de términos matemáticos en contextos diferentes del que fueron introducidos; hemos dado una breve explicación sobre los orígenes de la topología y hemos analizado con cuidado la construcción de los conjuntos abiertos en la recta.

Figura 1. D interseca a todos los demás subconjuntos de X. C y E intersecan sólo a D. A interseca a D y a B.

Ahora generalizaremos aquel ejemplo, dando una definición de familia de abiertos o familia de entornos, en cualquier espacio o conjunto. Estos conjuntos, que habitualmente denotaremos por X, podrían estar formados por cualquier tipo de elementos. Piaget se refiere a los espacios topológicos en este sentido genérico. Analiza relaciones entre partes del cuerpo humano o entre diferentes objetos percibidos por el niño, y entre ellos establece relaciones topológicas.

Tomemos una familia bien definida de subconjuntos de X, esto es, elegimos en X diversas partes de él; éstas se pueden intersecar, ser disjuntas, incluir a todo el conjunto (que es una parte de sí mismo), etc. Esta familia debe satisfacer ciertas propiedades simples que describiremos a continuación. En la figura 1 hemos representado un conjunto X y diversos subconjuntos A, B, C,... Es frecuente representar los conjuntos y sus subconjuntos de esa manera, dado que se pueden dibujar sobre una hoja de papel y a la vez permiten ejemplificar las diversas relaciones que se establecen entre ellos.

Denotaremos con la letra griega omega, W, a esa subfamilia. En la figura 1, W está formada por los subconjuntos A, B, C, D y E. Cada elemento del conjunto total será llamado punto y los subconjuntos son agrupamientos de tales puntos, partes del conjunto total. En la figura 1 los puntos del conjunto X son los que quedan encerrados por el círculo mayor.

Diremos que la familia W de conjuntos de X es una topología si satisface que:

1) La unión de cualquier cantidad numerable2 de esos conjuntos también está en la familia.

2) La intersección de un número finito de ellos, también.

3) El todo (o sea el subconjunto formado por  todos los puntos) y el vacío (el conjunto formado por ningún punto) forman parte de la familia original. Esto se escribe X e W (X pertenece a omega), Ø e W (el vacío pertenece a omega), respectivamente. Es habitual representar con el símbolo Ø al conjunto que no contiene nada (conjunto vacío); muchas veces el uso del conjunto vacío se introduce para dar coherencia a una teoría, por ejemplo, para representar a un conjunto luego que se han sacado todos sus elementos.

Figura 2 Curva de Jordan.

Cualquier conjunto de omega se denomina un abierto de esa topología. Cualquier abierto que contiene un punto de X se dice que es un entorno (o cercanía) de ese punto. Ruego al lector que compare todas estas definiciones con el estudio realizado en la recta, en el artículo anterior de esta serie.3

El lector también se merece una explicación sobre el uso de la palabra topología para designar, por un lado, a una rama de la matemática y, por otro, a una familia de conjuntos, la familia de los conjuntos abiertos de X. Esta “confusión” tiene origen en la introducción tardía de esta palabra en el lenguaje matemático y su utilización posterior. Obsérvese que habitualmente la topología designa a la ciencia y una topología a la familia de subconjuntos.

Si quisiéramos bien definir todos estos conceptos, la matemática de este artículo se complicaría demasiado, lo cual está muy lejos de los propósitos de esta serie. Debe remarcarse que Piaget usa la palabra topología refiriéndose en especial a la rama de la matemática, pero reiteradamente se refiere a las cercanías, los entornos, etc., que son los conjuntos que aquí –y en el lenguaje matemático habitual– se llaman conjuntos abiertos, que forman una topología.

Separación y continuidad

El concepto de separación permite diferenciar y reconocer las partes que son divididas por algún elemento geométrico. El niño parece reconocer el adentro y el afuera de ciertos objetos cerrados,el adelante y el atrás de una pared divisoria. Veamos algunos ejemplos rigurosos.

Llamaremos curva cerrada simple a una curva que no tiene extremos, de manera que no se autointerseca. Por ejemplo, la curva que dibuja el ocho es una curva cerrada, pero no es simple porque la curva se corta a sí misma en el punto en que forma los dos bucles; naturalmente que el cero se dibuja con una curva cerrada simple.

En el espacio no se puede relacionar la idea de separación con la de curva cerrada simple, porque la curva tiene “mucho lugar” para dar vueltas y no diferenciarse lo que queda de un lado u otro. Pero en el plano, cualquier curva cerrada simple, por más complicada que sea y por más vueltas que dé, separa al plano en dos partes bien diferenciadas. Una de ellas es no acotada, o sea uno se puede alejar todo lo que se quiera de la curva –“irse al infinito”– sin volverla a cortar; es lo que se llama la parte exterior a la curva. La otra parte (recordar que son sólo dos) es interior a la curva. Este resultado, aparentemente tan intuitivo, se denomina Teorema de Jordan (por el mismo C. Jordan, nombrado en el artículo anterior)4 y es de máxima utilidad para obtener diversos resultados exactos en el plano. Por ejemplo, para estudiar la evolución de fenómenos (movimientos) en el plano (ver fig. 2).

Este resultado con curvas naturalmente no es válido en el espacio. Aquí, para encerrar algo necesitamos superficies semejantes a esferas, las cuales también separan regiones exteriores e interiores del espacio. La pregunta natural es: ¿qué otras curvas y superficies separan a un plano y el espacio, respectivamente, en dos partes, como se indicó antes?

En el plano, ya hemos, de hecho, dado la respuesta. Se necesita una curva cerrada simple, puesto que si la curva no se cierra, no define una región interior o pueden quedar definidas varias regiones exteriores, no acotadas. Por ejemplo, una semicircunferencia no separa regiones del plano. Y una recta, tomada entera, viniendo del infinito y yendo hacia el infinito opuesto, es una curva que separa al plano en dos semiplanos, que son dos regiones exteriores, no acotadas. De igual manera una parábola separa al plano en dos regiones exteriores.

Figura 3 Dos regiones infinitas L y M, y una región finita F.

Si una curva se corta varias veces consigo misma (se autointerseca), pueden quedar definidas varias regiones interiores, como en el ejemplo ya visto del dibujo del ocho, que encierra una región acotada en cada uno de sus bucles. Es fácil dibujar curvas infinitas que encierran una región interior, y a su vez definen dos partes infinitas, exteriores, separadas (para obtener un ejemplo, haga el siguiente ejercicio: con un lápiz, o cualquier otra punta, venga del infinito, haga un bucle y luego siga para el infinito opuesto) (ver fig. 3).

En el espacio, las superficies que encierran una parte interior, separada de una parte exterior, parecen obtenerse como deformaciones de la esfera. Esto nos llevará naturalmente al concepto de continuidad o, mejor, de bicontinuidad de que habla Piaget en la cita inicial.

Figura 4 Un plano separa el espacio.

Antes de ir a esa definición observemos que en el espacio cada plano separa al espacio en dos semiespacios. Aquí “separar” significa que para ir de un semiespacio al otro, con continuidad (con una curva que no tiene saltos), se debe pasar por el plano separador (ver fig. 4).

Observe también que una circunferencia divide el plano en dos regiones, una de ellas infinita, y si se deforma la circunferencia suavemente, sin producir autointersecciones, se sigue separando de la misma manera. Este tipo de deformaciones, que es bicontinuo, mantiene las propiedades topológicas de diversos objetos de la geometría.

Continuidad

En el contexto en que estamos escribiendo estos artículos, la continuidad de transformaciones (“deformaciones continuas”, “correspondencias  cualitativas” o “bicontinuas”) está directamente asociada a la función, por lo que comenzaremos escribiendo algo sobre este tema.

Lo que sigue puede ser particularmente difícil o abstracto, pero nos parece necesario referirnos con este grado de generalidad al concepto de función pues él ocupa un lugar privilegiado en la presentación formal de diversas ramas científicas y en la ajustada representación de fenómenos y relaciones que están presentes en nuestra vida cotidiana.

De manera muy intuitiva, una función es una relación que a cada elemento de un conjunto le hace corresponder un solo elemento de otro conjunto. Las palabras clave son aquí: cada y solo; si a algún elemento del primer conjunto no le correspondiera uno del segundo o si a algún elemento del primer conjunto le correspondieran varios del otro, no tendríamos una función. A las funciones se les da algún nombre que aclare el carácter de la relación y, en su formato más abstracto, para denominarlas se suelen usar letras ubicadas en la parte intermedia del alfabeto latino: f, g, h.

Veamos una definición algo más rigurosa. Dados dos conjuntos cualesquiera, A y B, diremos que f es una función de A en B y escribiremos f: AB si a cada elemento de A le corresponde uno solo de B. Por ejemplo, la correspondencia del conjunto de las personas al conjunto de las mujeres, que a cada persona le hace corresponder su madre, es una función porque cada persona tiene una sola madre. La relación que en el sentido inverso le hace corresponder a cada mujer sus hijos, no lo es por dos razones: porque una mujer puede tener varios hijos y porque hay mujeres que no tienen hijos.

Se dice que A es el conjunto dominio y que B es el conjunto recorrido (o codominio). En el ejemplo anterior (“madre de”), el dominio son todas las personas y el recorrido, las mujeres. Observe que varios elementos del conjunto A pueden tener la misma madre y que hay mujeres que no corresponden a ninguna persona (las que no son madres). Dado un elemento x en A (x e A) se dice que su correspondiente por la función f es su imagen f(x). Por ejemplo, la imagen de Roberto Markarian, por la función que venimos estudiando, es Osana Abrahamian, mi madre.

Otro ejemplo: la relación que va del conjunto de los mexicanos a los números, o sea una relación que hace corresponder un número a cada mexicano, definida de la siguiente manera: a cada mexicano le corresponde su altura medida en centímetros. Naturalmente que para tener una función bien definida, habrá que hacer la medición en un año o un día bien determinado. Obsérvese que el conjunto recorrido es muy pequeño, porque los números van de 0 a 250; estoy suponiendo que no hay mexicanos que midan más de 2 metros y medio.

Continuemos con estas definiciones bastante difíciles, pero necesarias. Se dice que una función f: AB es invertible si cada elemento de B es imagen de uno y sólo uno de A. Ninguna de las funciones dadas como ejemplos anteriormente es invertible. Pero la función que va del conjunto de los mexicanos al conjunto de los números naturales y le hace corresponder a cada mexicano adulto su número de Clave Única de Registro de Población (curp) es una función invertible, pues cada número es imagen de un solo mexicano (estamos suponiendo que todo mexicano tiene una sola curp).

Con poco rigor diremos que una función es continua si lleva puntos cercanos a puntos cercanos, si no separa mucho. Obviamente que para ello hay que definir un concepto de cercanía. A estos efectos es conveniente trabajar en espacios topológicos donde tales cercanías están dadas por los conjuntos abiertos.

Diremos que una función f que va de un espacio topológico X en otro Y (esto se escribe así: f:: X→Y) es continua en un punto x de X, si dado un entorno U en Y de la imagen f(x) del punto x, existe un entorno E que contiene x, tal que la imagen de E está dentro de U. Esto es casi lo mismo que decir que las cercanías de un punto x є X se transforman en cercanías del punto imagen f(x) є Y. Las funciones continuas, como ya se observó, son uno de los conceptos fundamentales de la topología. Son funciones que no “rompen”, transforman con suavidad, sólo “deforman”. Si un proceso va a saltos no es continuo (ver fig. 5).

Para nuestros efectos actuales es aún más importante el concepto de función bicontinua, llamada homeomorfismo entre los matemáticos. Son funciones invertibles, o sea que se puede ir en un sentido y en otro, y siempre tener una correspondencia bien definida. No es el caso de la función que a cada persona le hace corresponder su edad medida en años, pues si bien cada persona tiene su edad (es una función), la correspondencia inversa no está bien definida pues, dado el número 23, hay una cantidad muy grande de personas que tienen esa edad. Esta función no es invertible. Sin embargo, la función que a cada persona le hace corresponder la huella dactilar de su dedo pulgar derecho es invertible: cada huella corresponde a una sola persona; por ello es que permite identificarla. Esto claramente no sucede con el ejemplo de la edad.

Figura 5 Función continua: f(E) está contenido en U.

La importancia de las funciones que son invertibles es que no repiten valores (por ello la edad de las personas no es invertible). Se dice que se tiene una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los objetos de salida y llegada de la función. Si una función es biunívoca (supongamos, a cada persona su huella dactilar) queda definida la función inversa (a cada huella dactilar una persona).

Si ambas funciones son, además continuas, tenemos un homeomorfismo. Dada una figura en el espacio o en el plano, un homeomorfismo la deforma, pero ninguna parte se traslapa (o sea, todos los puntos se corresponden de manera única, uno a uno), ni la figura se rompe (o sea que si dos puntos están cercanos, sus imágenes también, no hay puntos que se alejen mucho, por la correspondencia).

Así, las figuras del espacio que son homeomorfas con una esfera son las que separan al espacio en una parte exterior y una interior. Es como si el espacio entero se deformara: la esfera se transforma en la nueva figura: lo de adentro queda adentro y lo de afuera, afuera. De igual manera, a través de un homeomorfismo, las líneas cerradas quedan cerradas, las intersecciones de líneas se corresponden, pero ni los ángulos, ni las distancias, ni el paralelismo, ni la alineación tienen por qué mantenerse.*

 

* En el próximo artículo trataremos los conceptos de conexión, laberintos, orden, encerramiento, que ocupan un lugar muy importante en la concepción del espacio en el niño según Piaget. 1 La représentation de l'espace chez l'enfant, PUF, París, 1948. 2 En el primer artículo hemos definido conjunto numerable de la siguiente manera: un conjunto es numerable si se puede adjudicar un número natural distinto a cada uno de sus elementos. Por tanto, los conjuntos con una cantidad finita de elementos son numerables, pero también hay conjuntos infinitos numerables. Cfr. R. Markarian, “Topología explicada para maestros I”, Correo del Maestro, núm. 149, año 13, octubre de 2008, pp. 20-21. 3 Ver R. Markarian, “Topología explicada para maestros I”, op. cit., pp. 16-22. 4 R. Markarian, ibid., pp. 19.